第23章：定点数和浮点数

定点数(fixd-point)

用压缩BCD编码表示小数，即用4bit二进制表示1位十进制，同时将小数点后的位数固定（故而称之为定点数）。此外，需要额外的4bit储存符号信息，0001为负，0000位正。例如，表示$\pm 9,999,999.99$，需要5字节。-4,325,120.25可以表示为

$$0001 \; 0100 \; 0011 \; 0010 \; 0101 \; 0001 \; 0010 \; 0000 \; 0010 \; 0101$$

浮点数(floating-point)

单精度浮点数

首先，同整数一样，十进制小数也能够非常方便地转化成二进制小数。例如：十进制的5.8125，可以被表示成

$$5.8125 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 1 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} + 0 \times 2^{-3} + 1 \times 2^{-4}$$

即$101.1101$。

IEEE标准下有两种浮点数表示格式：4字节的单精度格式和8字节的双精度格式。两种格式都采用科学计数法，让我们来看看4字节32bit的单精度格式各个位的含义

s = 1位符号	e=8位指数	f = 23位有效数字

这样，一个数字就可以被表示为

$$(-1)^s \times 1.f \times 2^{e - 127}$$

8位指数中0和255有一些特殊用处：

• $e = 0, f = 0$，且s=0时表示0，s=1表示负0，即比0小的小数，该数字如此之小使得不能被单精度的数字和指数表示；

• $e = 0, f \neq 0$，合法但是不规范，可以被表示为

$$(-1)^s \times 0.f \times 2^{- 127}$$

• $e = 255, f = 0$，无限大或者无限小，取决于符号位；

• $e = 255, f \neq 0$，不是一个数（Not a Number，NaN）。

一般情况下，e取$1 \sim 254$，因此单精度下能够表示的最小的正负二进制数为

$$\pm 1.00000000000000000000000_2 \times 2^{-126}$$

最大的正负二进制数为

$$\pm 1.11111111111111111111111_2 \times 2^{127}$$

单精度浮点数的问题

因为只有23位有效位，所以单精度浮点数的精度有限。比如，如果后面的指数为$2^24$，则

$$\pm 1.00000000000000000000000_2 \times 2^{24} = 16,777,216$$

而

$$\pm 1.00000000000000000000001_2 \times 2^{24} = 16,777,218$$

小于16,777,218而大于等于16,777,217的所有数字都将与16,777,217一样，被表示为同样的数字。

此外，使用单精度浮点数可能出现计算结果应该为3.50但是实际上表示出来的是3.499999。

双精度浮点数

8字节64bit的双精度格式各个位的含义

s = 1位符号	e=11位指数	f = 52位有效数字

此时有效数字位数大大提升，大致相当于十进制的16位。