第13章：减法器的实现

无符号的减法

减法可以通过加法实现。考虑8位二进制的减法 $a - b$，其还能被表示为

$$(255 - b) + 1 + a - 256$$

即先对b取1的补数，再将结果与$a$和$1$分别相加。对于最后的-256，

1. 如果$a - b \geq 0$，那么$(255 - b) + 1 + a$的结果会大于256，即最高位的进位输出为1。

2. 如果$a - b < 0$，此时的结果为负数，对于无符号整数减法来说发生了下溢，此时$(255 - b) + 1 + a$的结果就小于256，即最高位的进位输出为0。

我们依照上述逻辑将第12章的加法器改造成加/减法器。

(1) 我们首先增加加/减法的选择开关，对于减法的情况，加/减法器的一输入端需要进行取补操作，我们采用异或门来实现：

异或门实现取反器

(2) 对于减法操作，$(255 - b) + 1 + a$只需要将最低位的接地线改为进位输入即可。

(3) 我们还需要一个操作来判断最高位的进位输出，对于加法进位输出为1时发生上溢错误，对于减法输出为0时发生下溢错误。

改进后的加/减法器的实现如下：

改进后的加/减法器

有符号的减法

在有符号的8位二进制数中，我们的表示范围不再是$0 \sim 255$，而应该是$-128 \sim 127$。我们仍旧采用取反加1的方式来表示负数，即用$255 - a + 1$的方式表示$-a$。举个例子，对于$-1$，我们对$00000001_{Two}$取反再$+1$，即为$11111111_{Two}$。注意到取补运算是可逆的。

注：

1. 有符号整数的第8位实际为符号位，$0$表示正数，$1$表示负数。

2. 有符号的减法实质是就是两个有符号整数的加法。

3. 如果两个输入数字符号相同，而结果符号与之相反，则发生了上溢/下溢，其结果非法。